Гаусс Карл Фридрих

Родился: 1777, Брауншвейг, Германия.

Умер: 1855, Гёттинген, Германия.

Главные сочинения: Disquisitiones arithmetical{1} (1801), Theoria motus corporum colestium in sectionibus conicis Solem ambientium{2} (1809), Disquisitiones generates circa superficies curvas{3} (1827).

Главные идеи

Карла Фридриха Гаусса считают величайшим математиком со времен Ньютона. Многие видят в нем величайшего математика всех времен. Как и Ньютон, Гаусс занимался в эпоху, когда не существовало ясно выраженных различий между деятельностью математика и физика. Но если в центре математических интересов Ньютона была приложимость математики к естествознанию, Гаусс находил, что математика обладает имманентной ценностью. С равным успехом он работал в области как чистой, так и прикладной математики, но выше ценил первую. Целью его естественнонаучного и математического творчества была разработка логически строгой и полной теории. Его экспериментаторская деятельность в естествознании неизменно способствовала прогрессу его теоретических изысканий.

К творческой энергии и прозорливости Гаусса присоединялось новое чувство строгости, позволившее ему преобразовать или разработать важные области математических и естественнонаучных ислледований, изменившее подход к математике его преемников.

Программа Гаусса пролила новый свет на отношения между математикой и естествознанием. Согласно воззрениям, которых придерживался восемнадцатый век, математика, по сути, служит орудием в руках естествоиспытателя, а наука (естествознание) все чаще оценивалась сообразно ее практической пользе. Новаторство Гаусса заключалось в том, что он провозгласил приоритет теоретических соображений, вследствие чего математика заняла высшее место среди всех наук.

Гаусс поступил в начальную школу в 1784 году. Наставники заметили и поощряли его необычайные способности к арифметике и помогли ему устроиться в среднюю школу (1788), где он изучал также латынь и верхненемецкий.

В 1792 году Гаусс поступил в Collegium Carolinum, где он занимался латынью и древнегреческим и вовсю пользовался блестящей библиотекой этого учебного заведения. Здесь он получил широкую и основательную математическую подготовку. Рано пробудившийся интерес к арифметике подтолкнул его к изучению распределения простых чисел.

В 1795 году Гаусс поступил в Гёттингенский университет, который был выбран им за свою богатую математическую библиотеку. Здесь в 1796 году он в основном закончил свой первый серьезный труд Disquisitiones arithmeticae, включая два доказательства квадратичного закона взаимности (его «золотой теоремы»). В этом же году он использовал теорию чисел, чтобы доказать возможность построения правильного семнадцатиугольника и тем самым решить геометрическую задачу, восходящую к античности.

Гаусс вернулся в Брауншвейг в 1798 году. Он завершил свою диссертацию, в которой доказал основную теорему алгебры и получил степень доктора в Хельмштедтском университете (1799). Disquisitiones arithmeticae были обнародованы в 1801 году.

Открытие астероида Цереры, произведенное в 1801 году итальянским астрономом, привело к тому, что центр интересов Гаусса смес5тился от чистой математики к астрономии. Гаусс рассчитал орбиту Цереры и успешно предсказал, что она будет вновь наблюдаться год спустя, после чего он сделался астрономической знаменитостью.

В 1807 году Гаусс переехал в Гёт-тинген, чтобы занять пост директора тамошней астрономической обсерватории.

Его второй фундаментальный труд, «Теория движения», был опубликован в 1809 году. «Теория движения» — это трактат по теоретической астрономии, посвященный определению орбит планет и комет. В период между 1807 и 1818 годами Гаусс продолжил астрономические исследования, написал работу по суммам Гаусса, открыл второе и третье доказательства основной теоремы алгебры и подготовил статью по гипергеометрическому ряду. Считается, что оставшиеся четыре из шести доказательств квадратичного закона взаимности были найдены им около 1808 года. В записях, датируемых 1816 годом, Гаусс приводит соображения в пользу возможности неевклидовой геометрии, и считается, что он был первопроходцем в этой области.

С 1818 по 1832 год Гаусс участвует в проведении геодезической съемки Ганноверского королевства. Эта работа послужила отправным пунктом для двух серьезных теоретических трудов по геодезии, а также для сочинения по чистой математике — Disquisitiones generates circa superficies curvas, где он вводит понятие «внутренней» геометрии, занимающейся локальными свойствами поверхности (например, ее кривизной), и тем самым закладывает основы для разработки современной дифференциальной геометрии.

В 1831 году его интересы сосредоточиваются на физике. В статье 1832 года он устанавливает абсолютную систему измерения магнитной силы, а в 1838 году он обнародовал общую теорию земного магнетизма, на основании которой успешно предсказал местоположение магнитного Южного полюса. Он внес вклад в теорию потенциала и в теорию электромагнетизма.

В 1831 году Гаусс опубликовал работу о биквадратных вычетах, в которой вводит Гауссовы целые числа и тем самым кладет начало теории алгебраических чисел.

В последние годы своей жизни — с 1838 по 1855 — Гаусс работал в своих астрономической и магнитной обсерваториях в Гёттингене, продолжая проявлять интерес к математике и физике. Он выучил русский язык, чтобы прочитать труд русского геометра Лобачевского. Четвертое, окончательное и исправленное, издание его докторской диссертации было представлено в 1849 году по случаю его пятидесятилетнего юбилея, Гаусс внес значительный вклад во все математические дисциплины. Он преобразовал теорию чисел и предопределил ее будущее направление. Он обосновал предмет дифференциальной геометрии, тем самым заложив математический фундамент теории общей относительности, разработанной впоследствии Эйнштейном. Он проложил новые направления исследования в астрономии и геодезии.

Гаусс умер двадцать третьего февраля 1855 года. По словам математика Эрика Белла, «в математике он живет повсюду».

Новая «внутренняя» строгость

Гаусс привнес в математику новую строгость, которой предстояло переопределить нормы научного творчества его преемников. Творчество Гаусса отличается не только полнотой своей общей формы, но и полнотой деталей своей внутренней структуры; последняя особенность характеризует его как первого из современных ригористов.

Гаусс изучал работы Архимеда и Ньютона, знаменитых мастеров законченного изложения. Он высоко их ценил, отзываясь о Ньютоне как о «величайшем» («summus»). Следуя их примеру, он стремился создавать работы совершенной формы — логичные, цельные и сжатые. Disquisitiones arithmeticae, Theoria motus и Disquisitiones generates служат блестящими образцами его умения создавать полные и цельные теории.

Однако уникальность гауссовско-го вклада в стандарты современной строгости заключается не в умении достигать классической полноты внешней формы, но скорее в умении до конца прояснять внутренние следствия своих теорий. И действительно, последнее он считал главным занятием своей жизни. Как он скромно констатировал, «дерево дóлжно исследовать до всех его корневых волокон». Он называл такой подход «античной строгостью» (rigor antiquus), имея в виду тот факт, что в восемнадцатом веке Архимедов стандарт точности был отброшен.

Гаусс вернул греческую строгость в математику своего времени.

Во-первых, он настаивал на том, что математические результаты, пользовавшиеся тогда общим признанием на основании интуиции или индукции, подлежат логическому доказательству, без которого невозможно установить их математическую справедливость. Во исполнение этого требования он открыл первые корректные доказательства таких выдающихся результатов, как основная теорема алгебры (теорема, которая по сути гласит, что любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел) и квадратичный закон взаимности, который касается разрешимости определенных пар квадратичных конгруэнтностей и имеет кардинальное значение для развития теории чисел.

Во-вторых, он усилил метод использования логики в математическом доказательстве. Строгость — всегда вопрос степени, и Гаусс установил новый критерий того, что может считаться очевидным. Критика творчества других математиков в его докторской диссертации и в Disquisitiones arithmeticae свидетельствует о серьезной неудовлетворенности математическими работами его непосредственных предшественников. Анализируя некорректное лежандровское доказательство квадратичного закона взаимности, он постулирует неприемлемость использования того, что всего лишь убедительно или даже вероятно, и предостерегает об опасности логического круга.

Третий элемент внутренней строгости Гаусса — это установление новых стандартов точности при употреблении математических методов.

Гаусс отмечал важность использования вычислительных приборов, совершенно неизвестных античности, в математике его времени. Такие приборы сокращают, упрощают, суммируют, а порой и просто делают возможными методы вычисления и доказательства.

В то же время выгоды, приносимые математике все возрастающим использованием таких методов, серьезно угрожали логике и красоте. Оппонируя творчеству своих современников и недавних предшественников, Гаусс предупреждал, что чисто механическое применение таких техник приводит к тому, что они используются в контекстах, которые для них совершенно не подходят.

Работа Гаусса над вопросами, связанными со сходимостью бесконечных рядов, служит иллюстрацией данного аспекта его строгости. Он понимал, что методы вычисления сумм бесконечных рядов должны ограничиваться лишь теми рядами, которые действительно сходятся, причем для разработки здравой теории требуется точная дефиниция сходимости и ее анализа. Его работа, посвященная гипергерметрическому ряду и опубликованная в 1813 году, была первым систематическим подходом к проблеме бесконечных рядов. Труды Гаусса заложили новый критерий трактовки бесконечных процессов и научили тому, как важно в любой математической дисциплине знать точные условия применимости того или иного метода.

Математика как царица наук

По мнению Гаусса, «математика — царица наук, а арифметика — царица математики».

Присущая восемнадцатому веку убежденность в математической природе Вселенной была поднята на новый уровень в работах Гаусса. Математика и впрямь была орудием естествознания. Но, по мнению Гаусса, математика отнюдь не служанка естествознания. На его взгляд, математика управляет поведением Вселенной; следовательно, чтобы понять Вселенную, мы должны открыть и развить лежащие в ее основе математические теории.

Кроме того, математика служит образцом того, как надлежит развивать научные теории. Первый серьезный труд Гаусса Disquisitiones arithmeticae послужил таким образцом для его последующего математического и естественнонаучного творчества. Его классический трактат по астрономии — Theoria motus, как и его первый математический труд, отличается строгостью, лаконичностью и полнотой. В Theoria motus впервые опубликован метод наименьших квадратов — математический метод, существенная роль которого в анализе как астрономических, так и геодезических данных представила новые свидетельства в пользу фундаментального соответствия математической мысли и поведения Вселенной.

Превращая математику из служанки в царицу наук, Гаусс исходил также из убеждения, отраженного в его «Инаугурационной лекции по астрономии» (недатированной), согласно которому первейшая задача науки — поиск истины «ради нее самой». В этом сочинении он превозносит Архимеда за то, что он отвел чистой математике первое место среди наук — место, обеспеченное ей ее имманентной независимостью от материального и практического.

Взгляды Гаусса стимулировали пересмотр самой природы математики, предпринятый его преемниками. Математика вернула себе статус самостоятельной науки, и практически полному отождествлению математики и физики, превалировавшему после Ньютона, пришел конец. Disquisitiones arithmeticae остаются памятником новаторских прозрений Гаусса.

Гаусс не только пересмотрел природу математики, он также пересмотрел природу арифметики как одной из математических дисциплин. В предисловии к Disquisitiones arithmeticae Гаусс различает высшую арифметику, которая затрагивает общие свойства чисел, от элементарной арифметики, которая занимается подсчетами и вычислениями. Высшая арифметика, именуемая сегодня теорией чисел, составляет предмет Disquisitiones arithmeticae, где Гаусс называет ее «божественной наукой». Он ценит высшую арифметику как самую незаинтересованную и чистую область математики. Он ценит ее высшее теоретическое изящество и отмечает особое наслаждение и страсть, которые сопровождают ее изучение. Такие качества, как строгость и лаконичность, которые, возможно, всего лишь полезны в других науках, абсолютно необходимы в арифметике.

Творчество самого Гаусса явилось внушительным вкладом в переоценку положения арифметики среди математических наук. В Disquisitiones arithmeticae под разрозненные открытия своих предшественников он подвел прочный фундамент в рамках по-новому организованной теории, а присовокупив к ним собственные результаты, определил предмет современной теории чисел.

Библиография

Гаусс, К.Ф., Общие исследования о кривых поверхностях. — В сб.: Об основаниях геометрии М., 1956.
Гаусс, К.Ф., Теоретическая астрономия (Лекции, читанные в Гёттингене в 1820—1826 гг записанные Купфером). — В кн.; Крылов, А.Н., Собр. трудов, т. 6, М.-Л., 1936.
Письма П.С. Лапласа, К.Ф. Гаусса, Ф.В. Бесселя и др. к академику Ф.И. Шуберту. — В сб.: Научное наследство. Т. 1, М.-Л., 1948, с. 801-822.
Гаусс» К.Ф., Труды по теории чисел, М., 1959.
Gauss, C.F., Disquisitiones Arithmeticae, tr. by A.A. Clarke, New Haven: Yale University Press, 1966.
Gauss, C.F., Theory of the Motion of Heavenly Bodies, New York: Dover, 1963.
Gauss, C.F., Inaugural Lecture on Astronomy and Papersa on the Foundations of Mathematics, tr. by G.W. Dunnington, Baton Rouge: Louoisiana State University, 1937.
Клейн, Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. 1, М.—Л., 1937.
Карл Фридрих Гаусс. Сборник статей, М., 1956.
Buhler, W.K., Gauss: A Biographical Study, Berlin, Heidelberg, and New York: Springer Verlag, I981.
Dunnington» G.W., Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, New York: Exposition Press, 1955. Hall, T., Carl Friedrich Gauss: A Biography, Cambridge and London, MIT Press, 1970.

Оригинал © Сьюзан Уилъямсон, 1992

Перевод © В. Федорин, 1997

Великие мыслители Запада. — М.: Крон-Пресс, 1999

{1} «Арифметические исследования» (лат.)

{2} «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца [по орбитам, имеющим форму] конических сечений» (лат.)

{3} «Общие исследования о кривых поверхностях» (лат.)